C#で文字列型同士の参照の比較(同一のインスタンスであるかどうかの比較)を行うには、いったんobjectにキャストして等価演算子==で比較するか、Object.ReferenceEqualsメソッドを使います。

等価演算子による文字列同士の参照の比較
using System;

class Sample {
  static void Main()
  {
    string s1 = "foo";
    string s2 = "bar";

    Console.WriteLine((object)s1 == (object)s2);
    Console.WriteLine(Object.ReferenceEquals(s1, s2));

    s1 = s2;

    Console.WriteLine((object)s1 == (object)s2);
    Console.WriteLine(Object.ReferenceEquals(s1, s2));
  }
}
実行結果
False
False
True
True