Regexクラスは不変であるため、インスタンスとして作成した正規表現は後から変更することは出来ません。　Regexインスタンスが表す正規表現文字列(Regexコンストラクタに渡した正規表現文字列)は、Regex.ToStringメソッドを呼び出すことで取得できます。

Regex.ToStringメソッドでRegexインスタンスが表す正規表現文字列を取得する
using System;
using System.Text.RegularExpressions;

class Sample {
  static void Main()
  {
    var txtFilePattern = new Regex(@"\.txt$");

    // ToStringメソッドを呼び出してRegexインスタンスの正規表現文字列を取得する
    Console.WriteLine(txtFilePattern.ToString());
  }
}
実行結果
\.txt$