ArrayListをソートするには、ArrayList.Sortメソッドを使います。　使い方・動作と結果はList<T>.Sortと同様です。

ArrayList.Sortで文字列をソートする
using System;
using System.Collections;

class Sample {
  static void Main()
  {
    // ソート対象のArrayList
    var list = new ArrayList(new string[] {"ab", "abc", "aa", "a", "b", "acb"});

    // ソート
    list.Sort();

    // ソート結果を表示
    foreach (var val in list) {
      Console.Write("{0}, ", val);
    }
    Console.WriteLine();
  }
}
実行結果
a, aa, ab, abc, acb, b,

ArrayListを使う以外の方法がないなど、特に理由が無い限りはArrayListではなくList等を用いることが推奨されます。