StartsWithメソッド・EndsWithメソッドでは、文字列比較時の動作をStringComparisonで指定することができます。　例えば、大文字小文字の違いを無視して部分文字列が一致するかどうかを調べることができます。

Containsメソッドも同様に、文字列比較時の動作をStringComparisonで指定することができます。　ただし、ContainsメソッドにStringComparisonを指定できるオーバーロードは、.NET Standard 2.1/.NET Core 2.1以降でのみ使用できます。

String.Containsメソッドで大文字小文字の違いを無視する .NET Standard 2.1/.NET Core 2.1
using System;

class Sample {
  static void Main()
  {
    var s = "The quick brown fox jumps over the lazy dog";

    // 文字列中に"Brown Fox"が含まれるかどうか調べる
    Console.WriteLine(s.Contains("Brown Fox", StringComparison.Ordinal));           // 大文字小文字の違いを無視しない
    Console.WriteLine(s.Contains("Brown Fox", StringComparison.OrdinalIgnoreCase)); // 大文字小文字の違いを無視する
  }
}
実行結果
False
True

文字列比較時のオプションStringComparisonについては文字列と比較オプション・カルチャの並べ替え規則 §.StringComparison列挙型とStringComparerクラスで詳しく説明しています。